問題 1
(1) 計算問題
問題: \( 1 - \{ 1.3 \div ( \frac{2}{3} - 0.125 ) - 1\frac{1}{2} \} \div \frac{16}{5} \)
graph TD
A[Start] --> B[小数・帯分数を分数に]
B --> C["1.3=13/10, 0.125=1/8, 1_1/2=3/2"]
C --> D["(2/3 - 1/8) = 13/24"]
D --> E["1.3 ÷ (13/24) = 13/10 × 24/13 = 12/5"]
E --> F["12/5 - 3/2 = 24/10 - 15/10 = 9/10"]
F --> G["(9/10) ÷ (16/5) = 9/32"]
G --> H["1 - 9/32 = 23/32"]
答え: \(\frac{23}{32}\)
(2) 平行四辺形と比
問題: 平行四辺形ABCD。E, FはAB, BCの中点。BDとEFの交点G, BDとAFの交点H。\(BG:GH:HD\) を求める。
1. Gの位置: 拡大相似または座標的な考え方で、\(BG : BD = 1 : 4\)。
2. Hの位置: \(BH : BD = 1 : 3\)。
3. 比の合成: \(BG=3, BH=4\) (全体12)。\(GH=1, HD=8\)。
graph LR
A[BD全体を12とする] --> B["BG = 1/4 BD = 3"]
A --> C["BH = 1/3 BD = 4"]
B --> D[GH = BH - BG = 1]
C --> D
D --> E["HD = 12 - 4 = 8"]
E --> F["比 BG:GH:HD = 3:1:8"]
答え: 3 : 1 : 8
(3) 玉の個数
問題: 赤-2 → 3:1。その後 白+4 → 5:3。
graph TD
A[赤-2後の状態] --> B["赤:3x, 白:x"]
B --> C[白+4] --> D["赤:3x, 白:x+4"]
D --> E["比が 5:3 になる"]
E --> F["3x : x+4 = 5 : 3"]
F --> G["9x = 5(x+4) => 4x=20 => x=5"]
G --> H["はじめの赤 = 3x + 2 = 17"]
答え: 17 個
(4) 損益算
問題: 7月(1割益), 8月(2割益, 仕入20%減). 利益差6000円。
差 \(0.06CQ = 6000\) \(\Rightarrow CQ = 100,000\)。
7月売上 \(1.1 \times CQ = 110,000\)。
答え: 110,000 円
(5) 単位分数の和
問題: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} < \frac{1}{3}\) で最大のもの。
\(x=4, y=13\) のとき和 \(\frac{17}{52} \approx 0.327\)。
\(x=5, y=8\) のとき和 \(\frac{13}{40} = 0.325\)。
\(\frac{17}{52}\) が最大。
答え: \(\frac{17}{52}\)
問題 2 (通過算)
(1) 普通列車の長さ
普通列車(12.5m/s)がAからB(400m先)まで通過するのに36.8秒。
\(400 + L = 12.5 \times 36.8 = 460 \Rightarrow L = 60\)。
答え: 60 m
(2) 追い越し
快速(25m/s, 140m)が、普通列車の最後尾がBにある時点(t=0)でスタート。
graph TD
A[t=0: 普通先頭=460m, 快速尾=-140m]
A --> B["普通先頭(t) = 460 + 12.5t"]
A --> C["快速尾(t) = 25t - 140"]
B --> D["追いつく: 25t - 140 = 460 + 12.5t"]
D --> E["12.5t = 600 => t = 48秒"]
E --> F["快速の進んだ距離 = 25 × 48 = 1200"]
答え: 1200 m
問題 3 (整数の性質・場合の数)
使える数字: 1, 2, 3, 4, 5 の5種類。
(1) 全部の数
重複順列 \(5^4 = 625\) 通り。
答え: 625 通り
(2) 積が5の倍数
補集合「5を含まない数(1,2,3,4のみ)」を引く。
\(5^4 - 4^4 = 625 - 256 = 369\) 通り。
答え: 369 通り
(3) 積が10の倍数
「積が10の倍数」 \(\Leftrightarrow\) 「5を含み、かつ偶数(2か4)を含む」。
包除原理を使用。
条件を満たさないもの(補集合):
- 5を含まない数 (1,2,3,4): \(4^4 = 256\) 通り
- 偶数を含まない数 (1,3,5): \(3^4 = 81\) 通り
- (重複分) 5も偶数も含まない (1,3): \(2^4 = 16\) 通り
条件を満たさない数 = \(256 + 81 - 16 = 321\) 通り。
求める数 = 全体 - (条件を満たさない数)
\(= 625 - 321 = 304\)。
graph TD
A[全体 625] --> N[条件を満たさないもの]
N --> N1["5を含まない: 256"]
N --> N2["偶数を含まない: 81"]
N1 --> N3[重複: 16]
N2 --> N3
N --> TotalInvalid["256 + 81 - 16 = 321"]
A --> Ans["625 - 321 = 304"]
答え: 304 通り
問題 4 (平面図形・回転)
(1) EQの長さ
回転の中心O、正方形の1辺は8cm。\(AQ=1\) cm。
幾何的考察により、\(EQ = 1\) cm。
答え: 1 cm
(2) 八角形の面積 (\([ア] \times \square\))
八角形の面積は、正方形から4つの三角形(合同)を引いたもの。
三角形APQにおいて、\(AQ=1, AP=24/7\)。
斜辺 \(PQ = [ア] = 25/7\)。
切り取る面積の合計 = \(4 \times (1/2 \times 1 \times 24/7) = 48/7\)。
八角形面積 = \(64 - 48/7 = 400/7\)。
問題の形式 \( [ア] \times \square \) にあてはめると:
\(\frac{400}{7} = \frac{25}{7} \times 16\)。
よって、四角にあてはまる数は 16。
答え: 16
(3) APの長さ ([イ])
接線の性質を利用して \(AP = [イ] = 24/7\)。
答え: \(\frac{24}{7}\) cm
問題 5 (不定方程式・並べ方)
(1) 不定方程式
① \(2x+3y=6\) : (3,0), (0,2) の 2通り。
② \(2x+3y=7\) : (2,1) の 1通り。
答え: ① 2通り, ② 1通り
(2) ブロックの並べ方
長さ6: \(10\)通り。
長さ7: \(16\)通り。
答え: ① 10通り, ② 16通り