整数の範囲に関する問題
「より大きく」「より小さい」の表現には注意！
「より大きく」→その数は含まない
「より小さい」→その数は含まない
問題1： 9より大きく27より小さい整数は何個あるか？
9より大きい→10以上
27より小さい→26以下
- 1から26までの整数の個数: 26個
- そのうち、1から9までの整数: 9個
- 求める個数: 26 - 9 = 17個
問題2： 5/6より大きく31/32より小さい整数は何個あるか？
5/6より大きい→6以上
31/32より小さい→31以下
- 1から31までの整数の個数: 31個
- そのうち、1から5までの整数: 5個
- 求める個数: 31 - 5 = 26個
分数に関する問題
分母が同じになるように分数を変形しよう！
問題1： 2/3より大きく7/9より小さい分母が18の分数を探せ
12/18より大きく14/18より小さい分母が18の分数は？
→ 13/18のみ
問題2： 5/12より大きく2/5より小さい分子が15の分数を探せ
15/36より大きく15/37.5より小さい分子が15の分数は？
→ 15/37のみ
問題3： 1/4より大きく2/7より小さい分母が18の分数
4.5/18より大きく5と1/7より小さい分母が18の分数は？
→ 5/18のみ
問題4： 3/7より大きく4/9より小さい分子が17の分数
17/39と2/3より大きく17/38と1/4より小さい分子が17の分数は？
→ 17/39のみ
分数の約分問題
分母を素因数分解して考えよう！
問題1： 2/9より大きく3/7より小さい分母が48の分数はいくつあるか？また、そのうち約分できるものはいくつか？
10と2/3より大きく20と4/7より小さい分母が48の分数は？
→ 11/48から20/48まで10個
48 = 24 × 3
約分できるのは分子が2の倍数または3の倍数
11から20の間で約分できるのは：
12, 14, 15, 16, 18, 20の6個
問題2： 3/7より大きく4/9より小さい分子が14の分数の個数と、そのうち約分できないものの個数
18から32までの分母に対して15個
分母=14×2=28なので素因数分解すると14=2×7
約分できないものは：
19, 23, 25, 27, 29, 31の6個
特殊な計算方法
特殊なパターンを見つけると計算が簡単になることがある！
問題1： 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1/5 + 1/5 - 1/6 + 1/6 - 1/7
隣り合う項を見ると...
1/3と-1/3, 1/4と-1/4, 1/5と-1/5, 1/6と-1/6は互いに打ち消し合う！
問題2： 1/2 + 2/6 + 3/12 + 4/20 + 5/30 + 6/42
分母のパターンを見ると...
2, 6=2×3, 12=3×4, 20=4×5, 30=5×6, 42=6×7
→ n(n+1)のパターン
n×1/(n×(n+1)) = 1/(n+1)
→ 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 = 1/2 - 1/7
問題3： 1×1/2 + 1×1/3 + 1×1/4 + 1×1/5 + 1×1/6
分数の値に注目すると...
1×1/2 = 1/2
1×1/3 = 1/3
このパターンから見ると単なる分数の和になる
問題4： 1/10×11 + 1/11×12 + 1/12×13 + 1/13×14 + 1/14×15
各項を見ると...
1/10×11 = 11/10 = 1 + 1/10
1/11×12 = 12/11 = 1 + 1/11
パターン: 各項が1 + 1/n の形になっている
問題5： 1677/43×39 + 2021/43×47 + 2397/47×51 を計算せよ
分母を観察すると規則性がある...
1677 = 43 × 39
2021 = 43 × 47
2397 = 47 × 51
水槽の問題
水の体積は変わらない！ 水面の高さ = 水の体積 ÷ 底面積
問題1： 底面が10cm×6cmで高さ16cmの水槽に9cmまで水が入っている。ここに底面3cm×5cmの直方体を入れると水面はどうなるか？
問題2： 底面が8cm×5cmの水槽に11cmまで水が入っている。ここに底面3cm×2cm、高さ4cmの直方体を完全に沈めると水面はどうなるか？
問題3： 底面が15cm×10cmの水槽に9cmまで水が入っている。底面3cm×5cm、高さ11cmの棒を入れていく。1本、2本、3本と入れた時の水面の高さは？
注意！棒が沈むか沈まないかで計算方法が変わる！
1本入れた場合：
→ 棒は沈まない（10cm < 11cm）
2本入れた場合：
→ おかしい！（11.25cm > 11cm）
棒が沈む計算に変更
3本入れた場合：
棒が沈む計算
問題4： 底面が16cm×20cmの水槽に9cmまで水が入っている。底面3cm×5cm、高さ11cmの棒を1本、2本、3本入れるとき、水面の高さはそれぞれいくらになるか？
1本入れた場合：
→ 棒は沈まない（9.44cm < 11cm）
2本入れた場合：
→ 棒は沈まない（9.93cm < 11cm）
3本入れた場合：
→ 棒は沈まない（10.47cm < 11cm）
速さと時間の問題
速さ × 時間 = 距離
時間 = 距離 ÷ 速さ
問題1： 20km離れたところからタロウとハナコが同時に出発して向かい合って進むとき、出会うのは何時何分か？
9時に出発→10時20分に出会う
問題2： 兄と弟が家から同じ方向に出発する。弟は8時に家を出て、兄は8時4分に出発する。兄の歩く速さは分速80m、弟の歩く速さは分速60mである。兄は弟に何分後に追いつくか？
兄が出発した時点で弟は既に進んでいる
問題3： 周囲1800mの池をA君とB君が同じ方向に走るとき、追いつくのは何分後か？
同じ方向の場合は速さの差で考える！
問題4： 兄は120mを24秒で走り、弟は120mを30秒で走る。同時に走ったとき、兄がゴールした時、弟はゴールから何m手前にいるか？
方法1: 弟が24秒で進む距離 = 4m/秒 × 24秒 = 96m
→ ゴールまであと24m
方法2: 速さの差 = 5 - 4 = 1m/秒
24秒間で差がつく距離 = 1m/秒 × 24秒 = 24m
問題5： 弟が120mを走り切るとき、兄がゴールにいるためには、スタート地点から何m後ろからスタートする必要があるか？
兄と弟が同時にゴールするには？
問題6： PとQの2地点間をA、B、Cが移動する。A,Bは分速120m,80mでPから、Cは分速70mでQからそれぞれ同時に出発した。AとCが出会った後、BとCが出会うまで何分かかったか？
PとQの距離 = (120 + 70)m/分 × 15分 = 2850m
グラフと時刻表の問題
移動をグラフにすると、交点が出会う場所・時刻になる！
問題1： バスと歩行者Tの移動をグラフで表す
バスの動き：
- A町から40分かけてB町へ移動（距離16km）
- B町で10分休憩
- 再びA町へ40分かけて戻る
- これを繰り返す
歩行者Tの動き：
- 時速4kmで進む
- B町からA町に向かう
- グラフの交点で出会う
バスと歩行者Tは3回出会う
最後にバスが歩行者Tを追い越すのは12時ちょうど
問題2： バスの速さと歩行者Tの速さが変わった場合のグラフ
バスの動き：
- 時速36kmで走る（20分でA町からB町へ移動）
- B町で20分休憩
- 再びA町へ20分かけて戻る
歩行者Tの動き：
- 時速4kmで進む
- B町からA町に向かう
前方から来るバスに3回出会う
最後にバスが歩行者Tを追い越すのは11時15分
問題3： 丸い池の周りをA,B,Cが移動する。A,Bは左回り、Cは右回りに進む時、池の周囲の長さは？
AとCが出会うまでの時間を求めよう
特殊な分数計算のパターン
数字の並びに規則性を見つけると計算が簡単に！
問題1： 3/5 + 4/7 + 5/9 + 6/11 + 7/13 + 8/15 を計算せよ
分子の並び: 3, 4, 5, 6, 7, 8
分母の並び: 5, 7, 9, 11, 13, 15
→ 分母は分子+2になっている！
問題2： 1/240 + 1/272 + 1/306 + 1/342 を計算せよ
分母を観察すると...
240 = 15×16
272 = 16×17
306 = 17×18
342 = 18×19